Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA∥平面EFG；
（Ⅱ）求三棱錐P-EFG的體積；
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD被平面EFG所截得到的兩部分體積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先利用題中的中點(diǎn)找到線線平行進(jìn)一步利用線面平行的判定定理得出結(jié)論．
（Ⅱ）先證明GC⊥平面PCD，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換∴VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF．GC，利用相關(guān)的線段長求出體積．
（Ⅲ）利用割補(bǔ)法分別求出平面兩邊的體積，最后確定結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，取AD的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，
∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點(diǎn)，∴EF∥CD．
∵G，H分別為BC，AD的中點(diǎn)，
∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面．
∵F，H分別為DP，DA的中點(diǎn)，
∴PA∥FH．
∵PA不在平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．
（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD為正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．
∵PF=

1

2

PD=1  EF=

1

2

CD=1，
∴S△PEF=

1

2

EF•PF=

1

2

．
∵GC=

1

2

BC=1，
∴VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

6

．
（Ⅲ）解：VP-ABCD=

1

3

AB•AD•PD=

8

3

，
采用割補(bǔ)法求被平面EFG所截得到下面的幾何體的體積為：
V₁=V_DFH-GCE=

1

2

×DH×DF×GH-

1

3

×

1

2

×DH×DF×EF=

5

6

，
被平面EFG所截得到上面的幾何體的體積為：V2=

8

3

-

5

6

=

11

6

，

V1

V2

=

5

11

．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，錐體的體積公式的應(yīng)用，割補(bǔ)法在幾何題中的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題．屬于基礎(chǔ)題型．