Question

解關(guān)于x的不等式：log₂（x-1）＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1）．

Answer 1

分析：原不等式等價(jià)于log₄ （x-1）²＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1），由此可得

x-1＞0 a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1

，由a＞1，可得1＜2-

1

a

，上述不等式等價(jià)于

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

①，分1＜a＜2、a=2、a＞2三種情況分別求出原不等式的解集．

解答：解：原不等式等價(jià)于log₄ （x-1）²＞log₄[a（x-2）+1]（a＞1），
∴

x-1＞0 a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1

，即

x＞1 x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

．
由于a＞1，所以1＜2-

1

a

，所以，上述不等式等價(jià)于

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

①，
（1）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，不等式組②等價(jià)于

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

，此時(shí)，由于(2-

1

a

)-a=

-(a-1)2

a

＜0，所以 2-

1

a

＜a，
從而可得  2-

1

a

＜x＜a 或 x＞2．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，不等式組①等價(jià)于

x＞ 3 2 x≠2

，所以可得 x＞

3

2

 且x≠2．
（3）當(dāng)a＞2時(shí)，不等式組①等價(jià)于

x＞2- 1 a x＜2或x＞a

，此時(shí)，由于2-

1

a

＜2，所以，2-

1

a

＜x＜2 或x＞a．
綜上可知：當(dāng)1＜a＜2時(shí)，原不等式的解集為{x|2-

1

a

＜x＜a ， 或x＞2}；
當(dāng)a=2時(shí)，原不等式的解集為{x|x＞

3

2

，且x≠2}；
當(dāng)a＞2時(shí)，原不等式的解集為{x|2-

1

a

＜x＜2或x＞a}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．