Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0
（1）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B；
（2）求弦AB中點(diǎn)M軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線？
（3）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為，求l方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓心到直線的距離小于半徑，判定，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B；
（2）設(shè)出弦AB中點(diǎn)M，求出直線L，利用弦的中點(diǎn)與圓心連線與割線垂直，求出軌跡方程．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理，以及定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為，求出A 的坐標(biāo)，代入圓的方程，求出m，即可求l方程．
解答：解：（1）圓心C（0，1），半徑r=，則圓心到直線L的距離d=，
∴d＜r，∴對(duì)m∈R直線L與圓C總頭兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（或用直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，且這個(gè)定點(diǎn)在圓內(nèi)）（4分）
（2）設(shè)中點(diǎn)M（x，y），因?yàn)長：m（x-1）-（y-1）=0恒過定點(diǎn)P（1，1）
斜率存在時(shí)則，又，k_AB•K_NC=-1，
∴，整理得；x²+y²-x-2y+1=0，
即：=，表示圓心坐標(biāo)是（），半徑是的圓；
斜率不存在時(shí)，也滿足題意，
所以：=，表示圓心坐標(biāo)是（），半徑是的圓．（4分）
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）解方程組
得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴，①
又
∴（x₂-1，y₂-1）=2（1-x₁，1-y₁），
即：2x₁+x₂=3②
聯(lián)立①②解得，則，即A（）
將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程得：m=±1，
∴直線方程為x-y=0和x+y-2=0
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，直線的一般式方程，軌跡方程，直線和圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查分析問題解決問題的能力，計(jì)算能力，是中檔題．