Question

已知⊙C：x²+（y-1）²=25，，直線l：mx-y+1-4m=0
（1）求證：對(duì)m∈R，直線l與⊙C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B．
（2）求弦長(zhǎng)AB的取值范圍．
（3）求弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有幾條．

Answer 1

分析：（1）利用直線系方程，求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可說(shuō)明直線l與⊙C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B．
（2）求出弦長(zhǎng)AB的最小值與最大值，即可得到弦長(zhǎng)的取值范圍．
（3）結(jié)合（2）求弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有幾條．

解答：解：（1）由mx-y+1-4m=0可得：（x-4）m-y+1=0
令

x-4=0 -y+1=0

，∴

x=4 y=1

，
∴直線l過(guò)定點(diǎn)M（4，1）…（2分）
又4²+（1-1）²=16＜25，M（4，1）在⊙C內(nèi) …（4分）
∴直線l與⊙C交于兩點(diǎn)…（5分）
（2）當(dāng)直線l過(guò)圓心C時(shí)，AB取最大值，此時(shí)m=0…（7分）
當(dāng)直線l⊥MC時(shí)，取最小值，MC=4，
∴AB=2

25-16

=6，
綜上弦長(zhǎng)的范圍：6≤AB≤10…（10分）
（3）由（2）知：6≤AB≤10，故弦長(zhǎng)為整數(shù)6時(shí)，直線有1條，而AB=10時(shí)有1條，
其它弦長(zhǎng)，7，8，9的值有各有2條
故弦長(zhǎng)為整數(shù)的弦共有8條．…（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線系方程的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．