設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,A(x,y)(x≠0)是拋物線C上的一定點(diǎn).
(1)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,且與C的對(duì)稱軸垂直,l與C交于Q,R兩點(diǎn),S為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),若△QRS的面積為4,求p的值;
(2)過(guò)點(diǎn)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AM,AN,與拋物線C的交點(diǎn)分別為M(x1,y1),N(x2,y2).若直線AM,AN的斜率都存在,證明:直線MN的斜率等于拋物線C在點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A1處的切線的斜率.
【答案】分析:(1)設(shè)出F,Q,R的坐標(biāo),求出|QR|,利用△QRS的面積為4,可求p的值;
(2)求拋物線C在點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A1處的切線的斜率,一種方法是設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式為0,另一種方法是導(dǎo)數(shù)法;求直線MN的斜率,一種方法是設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理及斜率公式,可求斜率,另一種方法是利用kAM=-kAN,確定斜率,從而可得結(jié)論.
解答:(1)解:由題設(shè),設(shè),則…(1分)
=.…(2分)
∴由△QRS的面積為4,得:,得:p=2.…(4分)
(2)證明:由題意A1(-x,y)…(5分)
首先求拋物線C在點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A1處的切線的斜率.
解法一:設(shè)拋物線在A1處的切線的斜率為k,則其方程為y=k(x+x)+y…(6分)
聯(lián)立,消去y得x2-2pkx-2pxk-2py=0
代入上式得:…(7分)
…(8分)
,即,得
即拋物線C在點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A1處的切線的斜率為.…(9分)
解法二:由x2=2py得,…(6分)
…(7分)
∴拋物線C在點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A1(-x,y)處的切線的斜率為.…(9分)
再求直線MN的斜率.
解法一:設(shè)直線AM的斜率為k1,則由題意直線AN的斜率為-k1.…(10分)
直線AM的方程為y-y=k1(x-x),則直線AN的方程為y-y=-k1(x-x).
聯(lián)立,消去y得…(1)…(11分)
∵方程(1)有兩個(gè)根x,x1,∴
,x+x1=2pk1,即x1=2pk1-x,同理可得x2=-2pk1-x…(12分)
直線MN的斜率=.…(13分)
∴直線MN的斜率等于拋物線C在點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A1處的切線的斜率.…(14分)
解法二:∵kAM=-kAN…(10分)
…(11分)
分別代入上式得:
整理得2x=x1+x2.…(12分)
∴直線MN的
斜率=.…(13分)
∴直線MN的斜率等于拋物線C在點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A1處的切線的斜率.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線、拋物線、對(duì)稱等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、方程的思想方法,考查數(shù)學(xué)探究能力以及運(yùn)算求解能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•黑龍江)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A∈C,已知以F為圓心,F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B,D兩點(diǎn);
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面積為4
2
;求p的值及圓F的方程;
(2)若A,B,F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上,直線n與m平行,且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0),F(xiàn)為焦點(diǎn),拋物線C上一點(diǎn)P(m,3)到焦點(diǎn)的距離是4,拋物線C的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)M是拋物線C上一點(diǎn),E(0,4),延長(zhǎng)ME、MF分別交拋物線C于點(diǎn)A、B,若A、B、H三點(diǎn)共線,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0),過(guò)它的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),已知|AB|=2.
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知t是一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù),P是直線y=t上一點(diǎn),過(guò)P作直線l1與l2,使l1⊥l2,若對(duì)任意的點(diǎn)P,總存在這樣的直線l1與l2,使l1,l2與拋物線均有公共點(diǎn),求t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)(x0≠0)是拋物線C上的一定點(diǎn).
(1)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,且與C的對(duì)稱軸垂直,l與C交于Q,R兩點(diǎn),S為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),若△QRS的面積為4,求p的值;
(2)過(guò)點(diǎn)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線AM,AN,與拋物線C的交點(diǎn)分別為M(x1,y1),N(x2,y2).若直線AM,AN的斜率都存在,證明:直線MN的斜率等于拋物線C在點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A1處的切線的斜率.

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