Question

1．已知函數(shù)f（x）=xe^x-ae^2x（a∈R）恰有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），則實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最大值，根據(jù)函數(shù)恰有兩個極值點得到關于a的不等式，求出a的具體范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=xe^x-ae^2x
可得f′（x）=e^x（x+1-2ae^x），要使f（x）恰有2個極值點，
則方程x+1-2ae^x=0有2個不相等的實數(shù)根，
令g（x）=x+1-2ae^x，g′（x）=1-2ae^x；
（i）a≤0時，g′（x）＞0，g（x）在R遞增，不合題意，舍，
（ii）a＞0時，令g′（x）=0，解得：x=ln$\frac{1}{2a}$，
當x＜ln$\frac{1}{2a}$時，g′（x）＞0，g（x）在（-∞，ln$\frac{1}{2a}$）遞增，且x→-∞時，g（x）＜0，
x＞ln$\frac{1}{2a}$時，g′（x）＜0，g（x）在（ln$\frac{1}{2a}$，+∞）遞減，且x→+∞時，g（x）＜0，
∴g（x）_max=g（ln$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$+1-2a•${e}^{ln\frac{1}{2a}}$=ln$\frac{1}{2a}$＞0，
∴$\frac{1}{2a}$＞1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$；
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．