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已知點Pn(an,bn)滿足an+1=an•bn+1,bn+1=(n∈N*)且點P1的坐標為(1,-1).
(1)求過點P1,P2的直線l的方程;
(2)試用數學歸納法證明:對于n∈N*,點Pn都在(1)中的直線l上.
【答案】分析:(1)由P1的坐標為(1,-1)可得a1=1,b1=-1,只要求出點P2的坐標即可求出過點P1,P2的直線l的方程;
(2)利用數學歸納法進行證明;
解答:解:(1)由P1的坐標為(1,-1)知
a1=1,b1=-1.
∴b2==
a2=a1•b2=
∴點P2的坐標為(
∴直線l的方程為2x+y=1.

(2)①當n=1時,
2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.
②假設n=k(k∈N*,k≥1)時,2ak+bk=1成立,
則2ak+1+bk+1=2ak•bk+1+bk+1=(2ak+1)
===1,
∴當n=k+1時,命題也成立.
由①②知,對n∈N*,都有2an+bn=1,
即點Pn在直線l上.
點評:此題考查直線的兩點式,關鍵是求出點P1,P2的坐標;第二問考查數學歸納法,記住其一般步驟:(1)當n=1時,顯然成立.(2)假設當n=k時(把式中n換成k,寫出來)成立,則當n=k+1時,(這步比較困難,化簡步驟往往繁瑣,考試時可以直接寫結果)該式也成立.由(1)(2)得,原命題對任意正整數均成立.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(理)已知點A(1,0),B(0,1)和互不相同的點P1,P2,P3,…,Pn,…,滿足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)
,O為坐標原點,其中{an}、{bn}分別為等差數列和等比數列,P1是線段AB的中點,對于給定的公差不為零的an,都能找到唯一的一個bn,使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在一個指數函數
 
(寫出函數的解析式)的圖象上.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知點集L={(x,y)|y=
m
n
},其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1),點列Pn(an,bn)(n∈N+)在L中,p1為L與y軸的交點,數列{an}是公差為1的等差數列.
(Ⅰ)求數列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若f(n)=
an,(n為奇數)
bn,(n為偶數)
,令Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n),試寫出Sn關于n的表達式;
(Ⅲ)若f(n)=
an,(n為奇數)
bn,(n為偶數)
,給定奇數m(m為常數,m∈N+,m>2).是否存在k∈N+,,使得
f(k+m)=2f(m),若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知點集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1),點列Pn(an,bn)在L中,P1為L與y軸的交點,等差數列{an}的公差為1,n∈N*
(I)求數列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若f(n)=
an  n為正奇數
bn  n為正偶數
,令Sn=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n);試寫出Sn關于n的函數解析式;

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知點集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,1+b)
,又知點列Pn(an,bn)∈L,P1為L與y軸的交點.等差數列{an}的公差為1,n∈N*
(Ⅰ)求Pn(an,bn);
(Ⅱ)若f(n)=
an,n=2k-1
bn,n=2k
k∈N*,f(k+11)=2f(k)
,求出k的值;
(Ⅲ)對于數列{bn},設Sn是其前n項和,是否存在一個與n無關的常數M,使
Sn
S2n
=M
,若存在,求出此常數M,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知點集L={(x,y)|y=
m
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,b+1)
,點列Pn(an,bn)在L中,P1為L與y軸的交點,等差數列{an}的公差為1,n∈N+
(1)求數列{an},{bn}的通項公式;
(2)若f(n)=
an(n=2k-1)
bn(n=2k)
(k∈N+)
,是否存在k∈N+使得f(k+11)=2f(k),若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
(3)求證:
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
2
5
(n≥2,n∈N*).

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