Question

3．某上市公司股票在30天內(nèi)每股的交易價格p（元）與時間t（天）組成有序數(shù)對（t，p），點（t，p）落在下圖中的兩條線段上．該股票在30天內(nèi)（包括30天）的交易量q（萬元）與時間t（天）的部分數(shù)據(jù)如表所示：

第t天	4	10	16	22
q（萬股）	26	20	14	8

（1）根據(jù)提供的圖象，寫出該種股票每股交易價格p（元）與時間t（天）所滿足的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若t與q滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量q（萬股）與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的結(jié)論下，用y（萬元）表示該股票日交易額，寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出這30天中第幾日交易額最大，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）可看出0＜t＜20時，p和t滿足一次函數(shù)關(guān)系，從而設(shè)p=at+b，由圖象看出過點（0，2），（20，6），帶入解析式便可求出a，b，而同理可以求出20≤t≤30時的p，t函數(shù)關(guān)系式，從而得出$p=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}t+2}&{0＜t＜20}\\{-\frac{1}{10}t+8}&{20≤t≤30}\end{array}\right.$；
（2）根據(jù)t與q滿足一次函數(shù)關(guān)系式，從而可設(shè)q=kt+m，由表中數(shù)據(jù)知該函數(shù)圖象過點（4，26），（10，20），從而可以求出k，m，從而得出q=-t+30；
（3）根據(jù)題意即可得出y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{5}（t-10）^{2}+80}&{0＜t＜20}\\{\frac{1}{10}（t-55）^{2}-\frac{125}{2}}&{20≤t≤30}\end{array}\right.$，這樣即可求出每段上y的最大值，比較即可求出這30天中第幾日交易額最大，以及最大值為多少．

解答 解：（1）當(dāng)0＜t＜20時，設(shè)p=at+b，由圖象可知過點（0，2），（20，6），代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{6=20a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{a=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$；
即$p=\frac{1}{5}t+2$；
同理可得當(dāng)20≤t≤30時$p=-\frac{1}{10}t+8$；
綜上可得$p=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}t+2}&{0＜t＜20}\\{-\frac{1}{10}t+8}&{20≤t≤30}\end{array}\right.$；
（2）由題意設(shè)q=kt+m，過點（4，26），（10，20），可得：
$\left\{\begin{array}{l}{26=4k+m}\\{20=10k+m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=30}\end{array}\right.$；
∴q=-t+30；
（3）由題意可得$y=pq=\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{5}t+2）（-t+30）}&{0＜t＜20}\\{（-\frac{1}{10}t+8）（-t+30）}&{20≤t≤30}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{5}（t-10）^{2}+80}&{0＜t＜20}\\{\frac{1}{10}（t-55）^{2}-\frac{125}{2}}&{20≤t≤30}\end{array}\right.$；
∴當(dāng)0＜t＜20時，t=10時，y_max=80萬元；
當(dāng)20≤t≤30時，t=20時，y_max=60萬元；
綜上可得第10日的交易額最大為80萬元．

點評 考查待定系數(shù)求函數(shù)解析式的方法，以及一次函數(shù)的一般形式，圖象上的點的坐標(biāo)和函數(shù)解析式的關(guān)系，以及配方法求二次函數(shù)的最值，分段函數(shù)最值的求法．