Question

設(shè)復(fù)數(shù)z滿足4z+2

.

z

=3

3

+i，ω=sinθ-icosθ，求z的值和|z-ω|的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)出復(fù)數(shù)z，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出方程組，求出復(fù)數(shù)z，然后通過(guò)復(fù)數(shù)的模利用兩角和與差的三角函數(shù)，通過(guò)正弦函數(shù)的值域，求出復(fù)數(shù)模的范圍即可．

解答：解：設(shè)z=a+bi，（a，b∈R），則

.

z

=a-bi．
代入4z+2

.

z

=3

3

+i，得4（a+bi）+2（a-bi）=3

3

+i，即6a+2bi=3

3

+i．
∴

a= 3 2 b= 1 2

∴z=

3

2

+

1

2

i．
|z-ω|=|

3

2

+

1

2

i-（sinθ-icosθ）|
=

( 3 2 -sinθ)2+( 1 2 +cosθ)2

=

1- 3 sinθ+sin2θ+cosθ+cos2θ

=

2- 3 sinθ+cosθ

=

2-2sin(θ- π 6 )

．
∵-1≤sin（θ-

π

6

）≤1，∴0≤2-2sin（θ-

π

6

）≤4．
∴0≤|z-ω|≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的相等的條件的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的模以及兩角和與差的三角函數(shù)，正弦函數(shù)的值域的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．