Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x≤1\\-{x^2}+2mx-2m+1，x＞1\end{array}$，且對于任意實(shí)數(shù)a∈（0，1）關(guān)于x的方程f（x）-a=0都有四個不相等的實(shí)根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄的取值范圍是（　　）

• A． （2，4]
• B． （-∞，0]∪[4，+∞）
• C． [4，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)，分析出m的范圍，然后利用數(shù)形結(jié)合求解選項(xiàng)即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x≤1\\-{x^2}+2mx-2m+1，x＞1\end{array}$，可知x≤1時，函數(shù)是圓的上半部分，函數(shù)的最大值為1，
x＞1時，f（x）=-x²+2mx-2m+1，的對稱軸為x=m，開口向下，對于任意實(shí)數(shù)a∈（0，1）關(guān)于x的方程f（x）-a=0都有四個不相等的實(shí)根x₁，x₂，x₃，x₄，則x＞1時，函數(shù)的最大值中的最小值為1，此時m≥2，
在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=f（x）與y=a的圖象如圖：
x₁+x₂=0，x₃+x₄≥2m≥4，
則x₁+x₂+x₃+x₄的取值范圍是[4，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的圖象，以及分析問題解決問題的能力，是難度比較大的題目．