Question

5．如圖，△ABC的邊AB、BC與⊙O交于A、D、E、C四點，且AC=BE，∠ADC=∠BDE．
（Ⅰ）求證：CD平分∠ACB；
（Ⅱ）若2BE=3DE=3，求BC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△ACD≌△EBD，可得AD=ED，從而∠ACD=∠ECD，即CD平分∠ACB；
（Ⅱ）證明△ABC∽△EBD，求出AB，BD，利用割線定理，求BC的長．

解答 （Ⅰ）證明：∵A，C，E，D四點共圓，
∴∠CAD=∠BED，
∵∠ADC=∠EDB，AC=BE，
∴△ACD≌△EBD，
∴AD=ED，
∴∠ACD=∠ECD，
∴CD平分∠ACB；
（Ⅱ）解：由∠ACB=∠BDE，∠BAC=∠BED可知△ABC∽△EBD，
∴$\frac{AB}{BE}$=$\frac{AC}{DE}$，
∵2BE=3DE=3，∴AB=$\frac{9}{4}$，
∴BD=AB-AD=$\frac{5}{4}$，
∵BD•BA=BE•BC，
∴$\frac{5}{4}×\frac{9}{4}=\frac{3}{2}BC$，
∴BC=$\frac{15}{8}$．

點評 本題考查三角形全等的證明，考查三角形相似的判定與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．