Question

如圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖．
（1）若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF⊥面PCD；
（2）證明BD∥面PEC．

Answer 1

分析：（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥面ABCD，易證CD⊥AF，PD⊥AF，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得AF⊥面PCD；
（2）取PC的中點(diǎn)M，AC與BD的交點(diǎn)為N，連接MN，可證得EM∥BN，又EM?面PEC，根據(jù)線面平行的判定定理可得BD∥面PEC．

解答：解：（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥面ABCD，
PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，
∴PD⊥AF，
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，
∴CD⊥面ADP，
∴CD⊥AF．又CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD．
（2）取PC的中點(diǎn)M，AC與BD的交點(diǎn)為N，連接MN，
∴MN=

1

2

PA，MN∥PA，
∴MN=EB，MN∥EB，故四邊形BEMN為平行四邊形，
∴EM∥BN，又EM?面PEC，∴BD∥面PEC．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．