Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=r²（0＜r＜b）．當(dāng)圓O的一條切線l：y=kx+m與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$，r=1時(shí)，若點(diǎn)A，B都在坐標(biāo)軸的正半軸上，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，探究a，b，r是否滿足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得d=$\frac{丨-2m丨}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=1，即可求得m的值，由點(diǎn)A，B都在坐標(biāo)軸的正半軸上，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得m²=r²（1+k²），將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得a，b與r的關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$，r=1時(shí)，則切線l：y=-$\frac{1}{2}$x+m，即2y+x-2m=0，
由圓心到l的距離d=$\frac{丨-2m丨}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=1，解得：m=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
點(diǎn)A，B都在坐標(biāo)軸的正半軸上，則m＞0，
∴直線l：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴A（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），B（$\sqrt{5}$，0），
∴B為橢圓的右頂點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，
則a=$\sqrt{5}$，b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{4{y}^{2}}{5}=1$；
（Ⅱ）a，b，r滿足$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$成立，
理由如下：設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直線l與圓x²+y²=r²相切，
則$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，即m²=r²（1+k²），①
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
則x₁+x₂=-$\frac{2{a}^{2}km}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}^{2}}$，
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{^{2}{m}^{2}-{a}^{2}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，則∠AOB=90°，則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}^{2}}$+$\frac{^{2}{m}^{2}-{a}^{2}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{{（a}^{2}+^{2}）{m}^{2}-{a}^{2}^{2}（1+{k}^{2}）}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=0，
則（a²+b²）m²=a²b²（1+k²），②
將①代入②，$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{{r}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．