Question

過點P（2，1）作直線l分別交x，y正半軸于A，B兩點．
（1）當△AOB面積最小時，求直線l的方程；
（2）當|PA|•|PB|取最小值時，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）設所求的直線方程為（a＞0，b＞0），由已知．
于是 ≤=，當且僅當，即a=4，b=2時，取最大值，
即取最小值4．
故所求的直線l的方程為，即x+2y-4=0．
（2）設直線l：y-1=k（x-2），分別令y=0，x=0，得．
則|PA|•|PB|=≥4，
當且僅當k²=1，即k=±1時，|PA|•|PB|取最小值，又∵k＜0，
∴k=-1，這時l的方程為x+y-3=0．
分析：（1）設所求的直線方程，點的坐標代入方程后使用基本不等式，可求面積的最小值，注意檢驗等號成立條件．
（2）設直線l的點斜式方程，求出A，B兩點的坐標，代入|PA|•|PB|的解析式，使用基本不等式，求出最小值，
注意檢驗等號成立條件．
點評：本題考查直線方程的幾種形式的應用，利用基本不等式求式子的最值，一定不要忘記檢驗等號成立的條件是否具備，屬于基礎題．