Question

【題目】選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)f(x)＝e2x－aln x.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)≥2a＋aln.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)沒有零點(diǎn)．當(dāng)a>0時(shí)存在唯一零點(diǎn)．（2）見解析

【解析】試題分析：(1) 先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，(2)先確定f(x)最小值，再根據(jù)基本不等式求最值，確定不等式

試題解析：解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ (x>0)．

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f′(x)沒有零點(diǎn)．

當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)閑2x單調(diào)遞增，－單調(diào)遞增，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f′(a)>0，當(dāng)b滿足0<b<且b<時(shí)，f′(b)<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)存在唯一零點(diǎn)．

(2)證明：由(1)可設(shè)f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0.當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝x0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)．

由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.

故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)≥2a＋aln.