【題目】已知函數(shù).
(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求證:存在唯一的,使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為;
(Ⅲ)比較與的大小,并加以證明.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ) ,證明見解析.
【解析】試題分析:(I)由切線斜率為及,由點(diǎn)斜式求切線即可;
(Ⅱ)由題意只需證明方程 在區(qū)間有唯一解,設(shè)函數(shù) 由單調(diào)性證明即可;
(Ⅲ) 首先證明當(dāng)時(shí), ,由即可證得.
試題解析:
(Ⅰ)函數(shù)的定義域是,
導(dǎo)函數(shù)為.
所以, 又,
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(Ⅱ)由已知.
所以只需證明方程 在區(qū)間有唯一解.
即方程 在區(qū)間有唯一解.
設(shè)函數(shù) ,
則 .
當(dāng) 時(shí), ,故在區(qū)間單調(diào)遞增.
又 , ,
所以 存在唯一的,使得.
綜上,存在唯一的,使得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.
(Ⅲ).證明如下:
首先證明:當(dāng)時(shí), .
設(shè) ,
則 .
當(dāng) 時(shí), , ,
所以 ,故在單調(diào)遞增,
所以 時(shí),有,
即當(dāng) 時(shí),有.
所以 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x),且對(duì)任意x>0,都有f′(x)>.
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(2)設(shè)x1,x2∈(0,+∞),證明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(3)請(qǐng)將(2)中結(jié)論推廣到一般形式,并證明你所推廣的結(jié)論.
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(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)B到平面MPC的距離.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,為正三角形,且側(cè)面PAB⊥底面ABCD. E,M分別為線段AB,PD的中點(diǎn).
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(II)求證:PB//平面ACM;
(III)在棱CD上是否存在點(diǎn)G,使平面GAM⊥平面ABCD,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中, 平面, .過(guò)的平面交于點(diǎn),交于點(diǎn).
(l)求證: 平面;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)記四棱錐的體積為,三棱柱的體積為.若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,證明直線過(guò)定點(diǎn),并求面積的最大值.
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【題目】選修4-5:不等式選講
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【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集為空集,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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