Question

已知函數(shù)f（x）定義域為R，且對任意實數(shù)x，y滿足f（x+y）=f（x）f（y），給出以下四個結(jié)論：
①若f（1）=2，則f（3）=8；
②若對任意x，恒有f（x）=c，其中c為常數(shù)，則c=0；
③若存在x₀，使得f（x₀）=0，則對任意x，恒有f（x）=0；
④若存在x₀，使得f（x₀）≠0，則對任意x，恒有f（x）＞0；
其中正確的是

 

（只用填上正確選項的序號）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：對于①，由條件可令x=y=1，再令x=1，y=2，即可得到f（3）；對于②，對任意x，恒有f（x）=c，則f（x+y）=c，f（y）=c，由條件即可判斷；對于③，由于存在x₀，使得f（x₀）=0，則有x∈R，f（x）=f（x-x₀）f（x₀）=0，即可判斷；對于④，由于存在x₀，使得f（x₀）≠0，又f（x）=f²（

x

2

）≥0，即可判斷．

解答： 解：對于①，由條件可令x=y=1，則f（2）=f²（1）=4，令x=1，y=2，
則f（3）=f（1）f（2）=2×4=8，故①對；
對于②，對任意x，恒有f（x）=c，則f（x+y）=c，f（y）=c，
則f（x+y）=f（x）f（y）有c=c²，即有c=0或c=1，故②錯；
對于③，由于存在x₀，使得f（x₀）=0，則有x∈R，f（x）=f（x-x₀）f（x₀）=0，故③對；
對于④，由于存在x₀，使得f（x₀）≠0，又f（x）=f²（

x

2

）≥0，
則若存在

x0

2

，使得f（

x0

2

）=0，即有f（x₀）=0，由③知，即f（x）=0，這與f（x）≥0矛盾，類比指數(shù)函數(shù)，
故④對．
故答案為：①③④

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的自變量與函數(shù)值的關(guān)系，考查賦值法解決抽象函數(shù)值，考查推理能力，屬于中檔題和易錯題．