Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³-3a²x-6a²+4a（a＞0）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x₀，若x₀＞0，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （0，2）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合函數(shù)圖象求出a的取值范圍．

解答 解：令f'（x）=3x²-3a²=3（x-a）（x+a）=0，解得x₁=-a，x₂=a，
其中a＞0，所以函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間如下：
x∈（-∞，-a），f（x）遞增；x∈（-a，a），f（x）遞減；x∈（a，+∞），f（x）遞增．
因此，f（x）在x=-a處取得極大值，在x=a處取得極小值，
結(jié)合函數(shù)圖象，要使f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，只需滿足：
f（x）_極大值=f（-a）＜0，即-a³+3a³-6a²+4a＜0，
整理得a（a-1）（a-2）＜0，解得，a∈（1，2），
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．