Question

11．已知點G是△ABC的重心．
（1）求$\overrightarrow{GA}$+$\overrightarrow{GB}$+$\overrightarrow{GC}$；
（2）若一過G點的直線分別交△ABC兩邊AB、AC于P、Q兩點，且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}$=n$\overrightarrow{AC}$，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的重心定理和平行四邊形法則即可得出．
（2）利用向量的幾何運算，得出$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{AQ}$$-\overrightarrow{AP}$=n$\overrightarrow$$-m\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{AG}$$-\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{c}$$+\overrightarrow$）-m$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{3}$-m）$\overrightarrow{c}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow$，根據(jù)共線向量的關系得出$\frac{n}{\frac{1}{3}}$=$\frac{-m}{\frac{1}{3}-m}$，化簡得出即可得出答案．

解答 解：（1）如圖所示
∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$），
同理可得：$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}$$+\overrightarrow{BC}$），$\overrightarrow{CG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CA}$$+\overrightarrow{CB}$）
∴$\overrightarrow{GA}$$+\overrightarrow{GB}$$+\overrightarrow{GC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{BA}$$+\overrightarrow{AC}$$+\overrightarrow{CA}$$+\overrightarrow{BC}$$+\overrightarrow{CB}$）=$\overrightarrow{0}$．
故答案為：$\overrightarrow{0}$
（2）設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$$+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{c}$$+\overrightarrow$），$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{c}$$+\overrightarrow$），
∵過G點的直線分別交△ABC兩邊AB、AC于P、Q兩點，且$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$=m$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AQ}$=n$\overrightarrow{AC}$=n$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{AQ}$$-\overrightarrow{AP}$=n$\overrightarrow$$-m\overrightarrow{c}$，
$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{AG}$$-\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{c}$$+\overrightarrow$）-m$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{3}$-m）$\overrightarrow{c}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow$，
∵P，Q，G三點共線，
∴$\overrightarrow{PQ}$∥$\overrightarrow{PG}$，系數(shù)對應成比例
$\frac{n}{\frac{1}{3}}$=$\frac{-m}{\frac{1}{3}-m}$，化簡得出；m+n=3mn，
即$\frac{1}{m}$$+\frac{1}{n}$=3

點評 本題考查的知識點是向量的線性運算性質及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，根據(jù)共線向量基本定理求解，