Question

 正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E、F、G分別為棱AA₁、CC₁、A₁B₁的中點(diǎn)，則下列幾個(gè)命題：

    ①在空間中與三條直線A₁D₁，EF，CD都相交的直線有無數(shù)條;

②點(diǎn)G到平面ABC₁D₁的距離為

③直線AA₁與平面ABC₁D₁所成的角等于45°；

④空間四邊形ABCD₁在正方體六個(gè)面內(nèi)形成六個(gè)射影，其面積的最小值是

⑤直線A₁C₁與直線AG所成角的余弦值為;

⑥若一直線PQ既垂直于A₁D,又垂直于AC,則直線PQ與BD₁是垂直不相交的關(guān)系．

其中真命題是              ．（寫出所有真命題的序號）

 

Answer 1

【答案】

 ①③④⑤；解析：在EF上任意取一點(diǎn)M,直線與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N, 當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N,而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)的．所以①正確;

易求得點(diǎn)G到平面ABC₁D₁的距離為,

所以②錯(cuò);根據(jù)線面角的定義知③正確;

空間四邊形ABCD₁在正方體的面AA₁D₁D內(nèi)形成的射影面積為是在正方體六個(gè)面內(nèi)形成六個(gè)射影面積的最小值,所以④正確;

由于AC∥A₁C₁,因此,直線AC與直線AG所成角等于直線A₁C₁與直線AG所成的角,所以余弦值為,

所以⑤正確;

由線面垂直的性質(zhì)定理易知直線PQ與BD₁是平行的關(guān)系．所以⑥錯(cuò)．