Question

某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室.如圖所示，ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮，扇形CEF是運動場的一部分，其半徑為40 m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，H在上.設矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，請將S表示為θ的函數(shù)，并指出當點H在的何處時，該健身室的面積最大?最大面積是多少？

Answer 1

解:延長GH交CD于點N，則NH=40sinθ,CN=40cosθ.

∴HM=ND=50-40cosθ,AM=50-40sinθ.

故S=(50-40cosθ)(50-40sinθ)=100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤).

令t=sinθ+cosθ=sin(θ+),

則sinθcosθ=,且t∈［1,］.

∴S=100［25-20t+8(t²-1)］=800(t-)²+450.

又t∈［1, ］,∴當t=1時，S_max=500,

此時sin(θ+)=1sin(θ+)=.

∵≤θ+≤,∴θ+=或,即θ=0或θ=.

答:當點H在的端點E或F處時，該健身室的面積最大，最大面積是500 m².