Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）在遞推關(guān)系中，令n=1，求得a₁，令n=2，求得 a₂的值．
（2）由題設(shè)可得得 S_n-1S_n-2S_n+1=0，求得S₁，S₂，S₃ 的值，猜測 ，用數(shù)學(xué)歸納法證之．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由已知得．
同理，可解得．
（2）由題設(shè)S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0，當(dāng)n≥2（n∈N^*）時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n-2S_n+1=0．（*）
由（1）可得．由（*）式可得．
由此猜想：（8分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論成立．②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，
即，那么，由（*）得，∴．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立，根據(jù)①和②可知，對所有正整數(shù)n都成立．因．
點(diǎn)評：本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，證明，是解題的難點(diǎn)．