Question

19．已知數(shù)列{α_n}滿(mǎn)足${a_1}=1，{a_2}=2，{a_{n+2}}=（{1+{{cos}^2}\frac{nπ}{2}}）{a_n}+{sin^2}\frac{nπ}{2}$，則該數(shù)列的前21項(xiàng)的和為2112．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²$\frac{nπ}{2}$）a_n+sin²$\frac{nπ}{2}$，可得a₃=a₁+1=2，a₄=2a₂=4，…，a_2k-1=a_2k-3+1，a_2k=2a_2k-2，（k∈N^*，k≥2）．因此數(shù)列{a_2k-1}成等差數(shù)列，數(shù)列{a_2k}成等比數(shù)列．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²$\frac{nπ}{2}$）a_n+sin²$\frac{nπ}{2}$，
∴a₃=a₁+1=2，
a₄=2a₂=4，
…，
a_2k-1=a_2k-3+1，
a_2k=2a_2k-2，（k∈N^*，k≥2）．
∴數(shù)列{a_2k-1}成等差數(shù)列，數(shù)列{a_2k}成等比數(shù)列．
∴該數(shù)列的前21項(xiàng)和為=（a₁+a₃+…+a₂₁）+（a₂+a₄+…+a₂₀）
=（1+2+…+11）+（2+2²+…+2¹⁰）
=$\frac{11×（1+11）}{2}$+$\frac{2（{2}^{10}-1）}{2-1}$=66+2¹¹-2=212．
故答案為：2112．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．