Question

20．已知Rt△AOB的面積為1，O為直角頂點，設向量$\overrightarrow{a}$═$\frac{\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$，$\overrightarrow$=$\frac{\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OB}|}$，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 以O為原點，OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，設A（m，0），B（0，n），由題意可得mn=2，求得向量OP的坐標，運用向量數(shù)量積的坐標表示，結合基本不等式即可得到最大值．

解答 解：以O為原點，OA所在直線為x軸，建立直角坐標系，
設A（m，0），B（0，n），則$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（0，1），
$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（1，2），$\overrightarrow{PA}$=（m-1，-2），$\overrightarrow{PB}$=（-1，n-2），
Rt△AOB的面積為1，即有mn=2，
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=1-m-2（n-2）
=5-（m+2n）≤5-2$\sqrt{2mn}$=5-2×2=1．
當且僅當m=2n=2時，取得最大值1．
故選：A．

點評 本題考查向量數(shù)量積的最值的求法，注意運用向量的坐標運算，結合基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．