Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x+1．
（1）若x∈R，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（2）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x+1=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故當2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為-1；
當2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．