Question

19．焦點(diǎn)為（0，±3）且與雙曲線$\frac{x^2}{2}$-y²=1有相同的漸近線的雙曲線方程是$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)所求的雙曲線方程是$\frac{x^2}{2}$-y²=k，由焦點(diǎn)（0，±3）在y軸上，知k＜0，故雙曲線方程是$\frac{{y}^{2}}{-k}$-$\frac{{x}^{2}}{-2k}$=1，據(jù)c²=9求出k值，即得所求的雙曲線方程．

解答 解：由題意知，可設(shè)所求的雙曲線方程是$\frac{x^2}{2}$-y²=k，
∵焦點(diǎn)（0，±3）在y軸上，∴k＜0，
所求的雙曲線方程是$\frac{{y}^{2}}{-k}$-$\frac{{x}^{2}}{-2k}$=1，
由-2k-k=c²=9，∴k=-3，
故所求的雙曲線方程是$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1，
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)漸近線方程相同設(shè)所求的雙曲線方程是$\frac{x^2}{2}$-y²=k，屬于基礎(chǔ)題．