Question

13．已知圓O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，AC=3，BC=4，∠C=90°，過(guò)圓心O的直線l交圓O于P，Q兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的取值范圍是（　　）

• A． （-7，1）
• B． ．[0，1]
• C． [-7，0]
• D． [-7，1]

Answer 1

分析 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線BC平行的直線為x軸，與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，運(yùn)用面積相等可得r=1，設(shè)出圓的方程，求得交點(diǎn)P，Q，討論直線的斜率k不存在和大于0，小于0的情況，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示和不等式的性質(zhì)，計(jì)算即可得到范圍．

解答 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，與直線BC平行的直線為x軸，
與直線AC平行的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示；
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，
運(yùn)用面積相等可得，$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×r×（3+4+5），
解得r=1，
則B（-3，-1），C（1，-1），
即有圓O：x²+y²=1，
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，即有P（0，1），Q（0，-1），
$\overrightarrow{BP}$=（3，3），$\overrightarrow{CQ}$=（-1，0），即有$\overrightarrow{BP}$=-3．
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx，（k＜0），
代入圓的方程可得P（-$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，-$\frac{k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），Q（$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，$\frac{k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），
即有$\overrightarrow{BP}$=（3-$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，1-$\frac{k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），$\overrightarrow{CQ}$=（$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$-1，$\frac{k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$+1），
則有$\overrightarrow{BP}$=（3-$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$）（$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$-1）+（1-$\frac{k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$）（$\frac{k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$+1）
=-3+$\frac{4}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
由1+k²≥1可得0＜$\frac{4}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$≤4，
則有-3＜-3+$\frac{4}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$≤1；
同理當(dāng)k＞0時(shí)，求得P（$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，$\frac{k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），Q（-$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，-$\frac{k}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$），
有$\overrightarrow{BP}$═-3-$\frac{4}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，
可得-7≤-3+$\frac{4}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$＜-3；
綜上可得，$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{CQ}$的取值范圍是[-7，1]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和直線與圓的位置關(guān)系以及不等式的性質(zhì)問(wèn)題，是綜合性題目．