Question

16．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=$\sqrt{2}$，點E在AD上，且AE=2ED．
（Ⅰ）已知點F在BC上，且CF=2FB，求證：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）若△PBC的面積是梯形ABCD面積的$\frac{4}{3}$，求點E到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知點F在BC上，且CF=2FB，證明EF⊥平面PAC，即可證明：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）E到平面PBC的距離即時A到平面PBC的距離，利用V_A-PBC=V_P-ABC，求點E到平面PBC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，
∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠ACD=45°，即AD=CD，
∴$BC=\sqrt{2}AC=2AD$，
∵AE=2ED，CF=2FB，∴$AE=BF=\frac{2}{3}AD$，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，則AB∥EF，
∴AC⊥EF，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵PA∩AC=A，
∴EF⊥平面PAC，∵EF?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，且AB=AC，∴PB=PC，
取BC的中點為G，連接AG，則AG⊥BC，AG=CD=1
設(shè)PA=x，連接PG，則$PG=\sqrt{{x^2}+1}$，
∵側(cè)面PBC的面積是底面ABCD的$\frac{4}{3}$倍，
∴$\frac{1}{2}×2•PG=\frac{4}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）$，即PG=2，求得$x=\sqrt{3}$，
∵AD∥BC，∴E到平面PBC的距離即時A到平面PBC的距離，
∵V_A-PBC=V_P-ABC，S_△PBC=2S_△ABC，
∴E到平面PBC的距離為$\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，