Question

17．已知等腰△ABC滿(mǎn)足AB=AC，$\sqrt{3}$BC=2AB，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)且AD=BD，則sin∠ADB的值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=AC=a、AD=BD=b，在△ABC中由余弦定理求出cos∠ABC、sin∠ABC，在△ABD中由余弦定理表示出AD，由正弦定理求出sin∠ADB的值．

解答 解：如圖設(shè)AB=AC=a，AD=BD=b，由$\sqrt{3}$BC=2AB得，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$．
在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC=$\frac{{AB}^{2}{+BC}^{2}{-AC}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{{a}^{2}{+（\frac{2\sqrt{3}}{3}a）}^{2}{-a}^{2}}{2a•\frac{2\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=AC，∴∠ABC是銳角，則sin∠ABC=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠ABC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
在△ABD中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cos∠ABD，
∴b²=a²+b²-2ab•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得 a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，
由正弦定理得，$\frac{AD}{sin∠ABD}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，∴$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{a}{sin∠ADB}$，
解得sin∠ADB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，以及方程思想，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力，屬于中檔題．