Question

7．已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如表，y=f'（x）的圖象如圖所示，下列關于函數f（x）的命題：

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

①函數f（x）的值域為[0，2]；
②函數f（x）在區(qū)間[0，2]和[4，5]上是減函數；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點．
其中是真命題的是②④．

Answer 1

分析 根據函數的單調性和特殊值，可判斷①②的真假；
根據已知導函數的圖象，及表中幾個點的坐標，易分析出0≤t≤5，均能保證x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，進而判斷③的真假；
根據函數的交點個數判斷④的真假．

解答 解：∵由導函數的圖象知，f（x）在[-1，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，4）遞增，在（4，5]遞減，
結合圖象函數的最小值是1，最大值是2，故函數f（x）的值域為[1，2]，①不正確；②正確；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數據可得當x=0或x=4時，函數取最大值2，若x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③錯誤；
原函數的圖象大致為：

故當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點，故④正確；
故答案為：②④．

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷，利用導數研究函數的單調性，其中根據已知，分析出函數的大致形狀，利用圖象分析函數的性質是解答本題的關鍵．