Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，{b_n }是公差不為0的等差數(shù)列，其中b₂、b₄、b₉依次成等比數(shù)列，且a₂=b₂
（1）求數(shù)列{a_n }和{b_n}的通項(xiàng)公式：
（2）設(shè)c_n=

bn

an

，求數(shù)列{c_n）的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由關(guān)系式an=

s1              n=1 sn-sn-1    n≥2

求出a_n，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意列出方程，求出首項(xiàng)和公差，代入通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)即可；
（2）由（1）求出c_n，再根據(jù)c_n的特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，要認(rèn)真化簡(jiǎn)．

解答：解：（1）由題意知，S_n=2ⁿ⁺¹-2，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ                    
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=4-2=2，也符合上式，
∴a_n=2ⁿ，
即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，
設(shè)數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b₁，公差為d （d≠0），
由b₂=a₂=4，又b₂、b₄、b₉依次成等比數(shù)列得，
（4+2d）²=4（4+7d），解得d=3，b₁=1，
∴b_n=3n-2．
（2）由（1）得，c_n=

bn

an

=

3n-2

2n

，
∴T_n=

1

2

+

4

4

+

7

8

+…+

3n-2

2n

2T_n=1+

4

2

+

7

4

+

10

8

+…

3n-2

2n-1

兩式相減得T_n=l+3（

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

）-

3n-2

2n

=1+3（

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

）-

3n-2

2n

=1+3（1-

1

2n-1

）-

3n-2

2n

=4-

3n+4

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差和等比數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．