Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a≠0時(shí)，若曲線y=f（x）與y=g（x）在x=0出有相同的切線，求b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，若f（x）≥g（x）對(duì)任意的x∈R恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a≠0時(shí)，求出曲線y=f（x）與y=g（x）在x=0處的切線方程，即可求b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，φ（x）=f（x）-g（x）=e^x-bx-1，所以φ'（x）=e^x-b，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求b的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=e^x，所以f'（0）=1，又f（0）=1，
得y=f（x）在x=0處的切線方程為y=x+1，…（2分）
又因?yàn)間'（x）=2ax+b，所以g'（0）=b，又g（0）=1，
得y=g（x）在x=0處的切線方程為y=bx+1，
因?yàn)榍�線y=f（x）與y=g（x）在x=0處有相同的切線，所以b=1．…（4分）
（Ⅱ）由a=0，則φ（x）=f（x）-g（x）=e^x-bx-1，所以φ'（x）=e^x-b，
（i）當(dāng)b≤0時(shí)，φ'（x）＞0，函數(shù)φ（x）在R上單調(diào)遞增，
又φ（0）=0，所以當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，φ（x）＜0，與函數(shù)f（x）≥g（x）矛盾，…（6分）
（ii）當(dāng)b＞0時(shí)，由φ'（x）＞0，得x＞lnb；由φ'（x）＜0，得x＜lnb，
所以函數(shù)φ（x）在（-∞，lnb）上單調(diào)遞減，在（lnb，+∞）上單調(diào)遞增，…（8分）
①當(dāng)0＜b＜1時(shí)，lnb＜0，又φ（0）=0，φ（lnb）＜0，與函數(shù)f（x）≥g（x）矛盾；
②當(dāng)b＞1時(shí)，同理φ（lnb）＜0，與函數(shù)f（x）≥g（x）矛盾；
③當(dāng)b=1時(shí)，lnb=0，所以函數(shù)φ（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，φ（x）≥φ（0）=0，故b=1滿足題意．
綜上所述，b的取值的范圍為{1}．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．