Question

設(shè)拋物線y=ax²（a＞0）與直線y=kx+b有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是x₁，x₂，而x₃是直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則x₁，x₂，x₃的關(guān)系是

x₁x₂=（x₁+x₂）x₃

．

Answer 1

分析：將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系，求出兩根積與兩根和的表達(dá)式；然后將欲證等式的左邊通分，轉(zhuǎn)化為兩根積與兩根和的形式，將以上兩表達(dá)式代入得到等式左邊的值；再根據(jù)直線解析式求出與x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)論得證．

解答：解：由題意 x3=-

b

k

，聯(lián)立拋物線y=ax²（a＞0）與直線y=kx+b得ax²-kx-b=0，
∴x1 +x2=

k

a

，x1x2=-

b

a

，∴

1

x1

+

1

x2

=-

k

b

，
∴x₁x₂=x₁x₃+x₂x₃，即x₁x₂=（x₁+x₂）x₃
故答案為：x₁x₂=（x₁+x₂）x₃．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，證明時(shí)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系將原式轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于k、b的表達(dá)式是證明的關(guān)鍵．