Question

在數(shù)列{a_n}、{b_n}中，已知a₁=6，b₁=4，且b_n、a_n、b_n+1成等比數(shù)列，a_n、b_n+1、a_n+1成等差數(shù)列，（n∈N⁺）
Ⅰ求a₂、a₃、a₄及b₂、b₃、b₄，由此猜想{a_n}、{b_n}的通項公式，并證明你的結(jié)論；
Ⅱ．證明：．

Answer 1

解：Ⅰ．由已知b_n、a_n、b_n+1成等比數(shù)列，
a_n、b_n+1、a_n+1成等差數(shù)列，（n∈N⁺）
∴2b_n+1=a_n+a_n+1，a_n²=b_n•b_n+1，
∵a₁=6，b₁=4，代入計算得：
a₂=12，a₃=20，a₄=30，b₂=9，b₃=16，b₄=25，
由此猜想a_n=（n+1）（n+2），b_n=（n+1）²（n∈N⁺），
證明：（1）當(dāng)n=1，由上面計算知猜想的結(jié)論成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k＞1，k∈N⁺）時結(jié)論成立，
即a_k=（k+1）（k+2），b_k=（k+1）²，
則當(dāng)n=k+1時，由于a_k²=b_k•b_k+1，
∴
∴當(dāng)n=k+1時，結(jié)論b_n=（n+1）²成立，
又a_k+1=2b_k+1-a_k=2（k+2）²-（k+1）（k+2）
=（k+2）（k+3）=[（k+1）+1][（k+1）+2]
∴當(dāng)n=k+1時，a_n=（n+1）（n+2）也成立
由（1）（2）所證可知對任意的自然數(shù)n∈N⁺，
結(jié)論a_n=（n+1）（n+2），b_n=（n+1）²都成立；
Ⅱ．因為．
當(dāng)n≥2時，由a_n+b_n=（n+1）（n+2）+（n+1）²
=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1），
=證畢．
分析：Ⅰ由已知可知2b_n+1=a_n+a_n+1，a_n²=b_n•b_n+1，把a₁=6，b₁=4，代入計算得：a₂=12，a₃=20，a₄=30，b₂=9，b₃=16，b₄=25，
由此猜想a_n=（n+1）（n+2），b_n=（n+1）²（n∈N⁺），再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．
Ⅱ因為．當(dāng)n≥2時，由a_n+b_n=（n+1）（n+2）+（n+1）²=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1），然后用放縮法進行證明．
點評：本題綜合考查數(shù)列的性質(zhì)和不等式的證明，在證明過程中要注意數(shù)學(xué)歸納法和放縮法的合理運用．