Question

6．已知函數(shù)f（x）=x|x-1|．
（Ⅰ）在給定的直角坐標系內畫出f（x）的圖象，并寫出函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）與y=a公共點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當x≥1時，f（x）=x²-x，當x＜1時，f（x）=x-x²，分段作出函數(shù)圖象，根據圖象寫出單調區(qū)間；
（2）結合圖象得出a的取值范圍與交點個數(shù)的關系．

解答 解：（Ⅰ）作出函數(shù)圖象如圖：
函數(shù)的單調遞增區(qū)間是$（-∞，\frac{1}{2}），（1，+∞）$，
單調遞減區(qū)間是$（\frac{1}{2}，1）$；
（Ⅱ）當$a＜0或a＞\frac{1}{4}$時，函數(shù)y=f（x）與x軸有一個公共點；
當$a=0或a=\frac{1}{4}$時，函數(shù)y=f（x）與x軸有兩個公共點；
當$0＜a＜\frac{1}{4}$時，函數(shù)y=f（x）與x軸有三個公共點．

點評 本題考查了分段函數(shù)的圖象，單調區(qū)間和交點個數(shù)問題，數(shù)形結合是重要解題方法．