Question

16．已知兩直線l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交點(diǎn)為P．
（1）直線l過點(diǎn)P且與直線5x+3y-6=0垂直，求直線l的方程；
（2）圓C過點(diǎn)（3，1）且與l₁相切于點(diǎn)P，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，求出直線l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交點(diǎn)，再求出直線l的斜率，可得直線l的方程；
（2）設(shè)圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心與半徑，即可求得圓的方程．

解答 解：（1）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得x=0，y=2，
∴直線l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交點(diǎn)P（0，2），
又∵直線5x+3y-6=0的斜率為-$\frac{5}{3}$，∴直線l的斜率為$\frac{3}{5}$，
∴直線l的方程為y-2=$\frac{3}{5}$（x-0），化為一般式可得3x-5y+10=0．
（2）設(shè)圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）²+（y-b）²=r²，
∴a²+（b-2）²=（a-3）²+（b-1）²=$\frac{|a-2b+4|}{\sqrt{5}}$=r²，
∴a=1，b=0，
∴圓的方程為（x-1）²+y²=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線、圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．