Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．且a_n=$\frac{2}{3}$S_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，利用錯位相減法進行求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n=$\frac{2}{3}$S_n+1，
∴當(dāng)n≥2時，a_n-1=$\frac{2}{3}$S_n-1+1，兩式相減得
a_n-a_n-1=$\frac{2}{3}$S_n+1-$\frac{2}{3}$S_n-1-1=$\frac{2}{3}$a_n，
即$\frac{1}{3}$a_n=a_n-1，
則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=3，
則數(shù)列{a_n}是公比q=3的等比數(shù)列，
當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{2}{3}$a₁+1，得a₁=3，
則a_n=3•3^n-1=3ⁿ，
即數(shù)列的通項公式為a_n=3ⁿ；
（Ⅱ）b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{lo{g}_{3}{3}^{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$，
則求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
則$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$+$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
兩式相減得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}•（1-（\frac{1}{3}）^{n}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$，
則T_n=$\frac{1}{3}$-（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹-$\frac{2n}{{3}^{n+2}}$．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式和數(shù)列求和的計算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵．