Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）解不等式f（x+2）≥2．
（2）如果關于x的不等式f（x）＜a的解集是空集，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意，|x-1|+|x-2|≥2，通過對x的范圍分類討論，去掉絕對值符號，轉化為一次不等式來解即可；
（2）利用分段函數(shù)y=|x-1|+|x-2|，根據(jù)絕對值的意義，可求得y_min，只需a≤y_min即可求得實數(shù)a的取值范圍

解答 解：（1）f（x+2）≥2?|x+1|+|x|≥2，
當x≤-1時，不等式化為-2x-1≥2，解得：x≤-$\frac{3}{2}$；
當-1＜x≤0時，不等式化為x+1-x≥2，無解；
當x＞0時，不等式化為x+1+x≥2，解得：x≥$\frac{1}{2}$；
∴f（x+2）≥2的解集是{x|x≤-$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{1}{2}$}；
（2）由題意得：a≤f（x）_min，
由f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，
當且僅當（x-1）（x-2）≤0即x∈[1，2]取得最小值，
∴a≤1．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，通過對x的范圍分類討論，去掉絕對值符號是解決問題的關鍵，屬于中檔題．