Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，
（1）若BC=3，AC=4，P是AB上的點(diǎn)，求點(diǎn)P到AC，BC的距離乘積的最大值；
（2）若△ABC的面積是4，求內(nèi)切圓半徑的范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P到AC，BC的距離分別為m，n，即可得到P的坐標(biāo)，根據(jù)A，B的坐標(biāo)求出直線AB的方程，則點(diǎn)P在直線AB上，代入可得m，n的關(guān)系，利用基本不等式求解即可得到答案；
（2）設(shè)BC=a，CA=b，根據(jù)題意△ABC的面積是4，可得到ab的值，利用基本不等式求出△ABC的周長的取值范圍，從而運(yùn)用等面積法，得到內(nèi)切圓半徑的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)P到AC，BC的距離分別為m，n，則P的坐標(biāo)為（n，m），
∵BC=3，AC=4，
則A（4，0），B（0，3），
故由直線的截距式方程可得，直線AB的方程為

x

4

+

y

3

=1，
∵P是AB上的點(diǎn)，則

m

4

+

n

3

=1，
∴

m

4

+

n

3

=1≥2

mn 12

，
∴mn≤3，
∴點(diǎn)P到AC，BC的距離乘積的最大值3；
（2）設(shè)BC=a，CA=b，內(nèi)切圓的半徑為r，
∵△ABC的面積是4，則

1

2

ab=4，
∴ab=8，
∴△ABC的周長為BC+CA+AB=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=4

2

+4，
由三角形的“等面積法”可得，

1

2

（a+b+c）r=4，
∴r=

8

a+b+ a2+b2

≤

8

4+4 2

=2

2

-2，
故內(nèi)切圓半徑的取值范圍為（0，2

2

-2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的方程，基本不等式求最值，以及三角形的內(nèi)切圓半徑的問題．在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷．運(yùn)用基本不等式解題的關(guān)鍵是尋找和為定值或者是積為定值，難點(diǎn)在于如何合理正確的構(gòu)造出定值．第（2）問中，運(yùn)用了“等面積法”求解三角形內(nèi)切圓的半徑是常用的方法．屬于中檔題．