Question

（2012•日照一模）給出下列四個命題：
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=x²+a^x-3只有一個零點；
③函數(shù)y=2

2

sinxcosx在[-

π

4

，

π

4

]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
④若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4．
其中真命題的序號是

①④

（把所有真命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；可由全稱命題的否定的書寫規(guī)則判斷其真假；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個零點；可由函數(shù)的圖象特征進行判斷；
③先化簡函數(shù)的表達式，然后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可判斷．
④若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；可由基本不等式將方程轉(zhuǎn)化關(guān)于a+b不等式，再解不等式求出a+b的最小值，進行驗證．

解答：解：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”是一個真命題，由于原命題是一個全稱命題，故其否定是一個特稱命題；正確；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個零點是個假命題，由于x=0時，f（0）＜0，x趨向于負(fù)無窮大與正無窮大時函數(shù)值都是正數(shù)，故此函數(shù)至少有兩個零點；
③函數(shù)y=

2

sin2x，
因為由 2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，∴kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，（k∈Z），
∴函數(shù)y=2

2

sinxcosx在[-

π

4

，

π

4

]上不是單調(diào)遞減函數(shù)，故錯；
④若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4是個真命題，
由lga+lgb=lg（a+b），得ab=a+b≤（

a+b

2

）2
解得a+b≥4，故a+b的最小值為4；
綜上證明知①④是真命題
故答案為：①④

點評：本題考查命題真假判斷與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握每個命題所涉及的基礎(chǔ)知識與基本技能，本題中②④兩個命題的真假判斷是個難點，其中②的判斷用到了特殊值法，④的判斷技巧性較強，解題時對此類技巧要注意掌握