Question

18．f（x）=x|x-a|（a＜0）在（m，n）上有最大、小值，則m，n的取值范圍$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a≤m＜a，$\frac{a}{2}$＜n≤0．

Answer 1

分析 將f（x）表示為分段函數(shù)的形式，注意運用絕對值的意義，畫出f（x）的圖象，由題意可得f（x）的最小值為f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$，最大值為f（0）=0，由圖象即可得到m，n的范圍，

解答 解：f（x）=x|x-a|（a＜0），
當x≥a時，f（x）=x（x-a），
當x＜a時，f（x）=x（a-x），
畫出函數(shù)f（x）的圖象，
由題意可得f（x）的最小值為f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$，
最大值為f（0）=0，
由圖象可得，m＜a，且f（m）≥f（$\frac{a}{2}$），$\frac{a}{2}$＜n≤0，
由f（m）=m（a-m）≥-$\frac{{a}^{2}}{2}$，解得$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a≤m≤$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$a，
即有m的范圍是$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a≤m＜a，
n的范圍是$\frac{a}{2}$＜n≤0，
故答案為：$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$a≤m＜a，$\frac{a}{2}$＜n≤0．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．