Question

20．已知曲線y=x³，求
（1）過點(diǎn)B（1，1）且與曲線相切的直線方程；
（2）過點(diǎn)C（1，0）且與曲線相切的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），根據(jù)解析式求出導(dǎo)數(shù)、y₀，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程求出切線方程，把點(diǎn)（1，1）代入切線方程通過因式分解求出x，代入切線方程化簡(jiǎn)即可．
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求出導(dǎo)數(shù)，求得x=m處的切線的斜率，寫出切線方程，代入點(diǎn)（1，0），再由切點(diǎn)滿足曲線方程，解m，n的方程，可得m，進(jìn)而得到切線的斜率，以及切線方程．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），由題意得y=3x²，y₀=x₀³，
則切線的斜率k=3x₀²，
∴切線方程是：y-x₀³=3x₀²（x-x₀），①
∵切線過點(diǎn)（1，1），∴1-x₀³=3x₀²（1-x₀），
化簡(jiǎn)得，2x₀³-3x₀²+1=0，
2（x₀³-1）-3（x₀²-1）=0，
則（x₀-1）（2x₀²-x₀-1）=0，
解得x₀=1或x₀=-$\frac{1}{2}$，代入①得：3x-y-2=0或3x-4y+1=0，
∴切線方程為3x-y-2=0或3x-4y+1=0．
（2）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
y=x³的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²，
則切線的斜率為k=3m²，
切線的方程為y-n=3m²（x-m），
代入點(diǎn)（1，0），可得n=3m²（m-1），
又n=m³，
即有m³=3m²（m-1），
解得m=0或1.5，
即有切線的斜率為0或6.75．
則過點(diǎn)（1，0）且與曲線相切的切線方程為y=0或54x-8y-54=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即點(diǎn)P處的切線的斜率是該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)值，以及切點(diǎn)在曲線上和切線上的應(yīng)用，注意在某點(diǎn)處的切線和過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．