Question

5．如圖四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，△BCE為等邊三角形，△ABE是以∠A為直角的等腰直角三角形，且AC=BC．
（Ⅰ）證明：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)O為BE的中點(diǎn)，連接AO與CO，說(shuō)明AO⊥BE，CO⊥BE．證明AO⊥CO，然后證明平面ABE⊥平面BCE．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面ADE的法向量，平面DEC的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角A-DE-C的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）證明：設(shè)O為BE的中點(diǎn)，連接AO與CO，
則AO⊥BE，CO⊥BE．…（1分）
設(shè)AC=BC=2，則AO=1，$CO=\sqrt{3}$，⇒AO²+CO²=AC²，…（3分）
∠AOC=90°，所以AO⊥CO，
故平面ABE⊥平面BCE．…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO，BE，CO兩兩互相垂直．OE的方向?yàn)閤軸正方向，OE為單位長(zhǎng)，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（0，0，1），E（1，0，0），$C（0，\sqrt{3}，0）$，B（-1，0，0），$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BA}=（1，\sqrt{3}，1）$，
所以$D=（1，\sqrt{3}，1）$，$\overrightarrow{AD}=（1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{AE}=（1，0，-1）$，
$\overrightarrow{EC}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{CD}=（1，0，1）$，…（8分）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ADE的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，即$\begin{array}{l}|x+\sqrt{3}y=0，\\|x-z=0，\end{array}$所以$\overrightarrow{n}=（-\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}）$，
設(shè)$\overrightarrow{m}$是平面DEC的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，同理可取$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}）$，…（10分）
則$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{7}$，所以二面角A-DE-C的余弦值為$\frac{1}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．