（本題滿分16分）

已知函數(shù)，，，其中，

且.⑴當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；

⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑶設(shè)函數(shù)若對任意給定的非零實數(shù)，存在非零實

數(shù)（），使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

解：⑴當(dāng)時， ∴

令，則， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴                                  ----------------------------4分

⑵，，（）

∴當(dāng)時，，∴函數(shù)的增區(qū)間為，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，函數(shù)是減函數(shù)；

當(dāng)時，，函數(shù)是增函數(shù)。

綜上得，

當(dāng)時，的增區(qū)間為； 

當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為 ----------10分                                   

⑶當(dāng)，在上是減函數(shù)，此時的取值集合；

當(dāng)時，，

若時，在上是增函數(shù)，此時的取值集合；

若時，在上是減函數(shù)，此時的取值集合。

對任意給定的非零實數(shù)，

①當(dāng)時，∵在上是減函數(shù)，則在上不存在實數(shù)（），使得，則，要在上存在非零實數(shù)（），使得成立，必定有，∴；

②當(dāng)時，在時是單調(diào)函數(shù)，則，要在上存在非零實數(shù)（），使得成立，必定有，∴。

綜上得，實數(shù)的取值范圍為。                        -------------------16分

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本題滿分16分）兩個數(shù)列{an}，{bn}，滿足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
．★（參考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．

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（本題滿分16分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第三小題6分）

已知函數(shù)

（1）判斷并證明在上的單調(diào)性；

（2）若存在，使，則稱為函數(shù)的不動點，現(xiàn)已知該函數(shù)有且僅有一個不動點，求的值；

（3）若在上恒成立 , 求的取值范圍．

 

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