15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y=x+2相切，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

分析 由題意列式求出b，再由橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4求得a，結(jié)合隱含條件求出c，則橢圓的離心率可求．

解答 解：由以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y=x+2相切，
得b=$\frac{|2|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=\sqrt{2}$．
又∵2a=4，∴a=2，
∴c2=a2-b2=2，即c=$\sqrt{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及了橢圓與直線的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題．

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