Question

18．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）經(jīng)過點${P}（{\sqrt{3}，\frac{1}{2}}）$，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，動點${M}（{2\sqrt{3}，t}）$（t＞0）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以OM（O為坐標原點）為直徑且被直線$\sqrt{3}x-y-5=0$截得的弦長為$2\sqrt{3}$的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率，求得a和c關系，將P點代入橢圓方程，即可求得橢圓的標準方程；
（2）求得圓的圓心與半徑，設圓方程，利用點到到直線的距離公式及勾股定理即可求得t的值，求得圓的方程．

解答 解：（1）由題意得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，①，因為橢圓經(jīng)過點$P（\;\sqrt{3}\;，\;\frac{1}{2}\;）$，
所以$\frac{{{{（\;\sqrt{3}）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（\;\frac{1}{2}\;）}^2}}}{b^2}=1$，②又a²=b²+c²③，
由①②③解得a²=4，b²=1，c²=3．
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…．…..（6分）
（2）以OM為直徑的圓的圓心為$（\;\sqrt{3}\;，\;\frac{t}{2}\;）$，半徑$r=\sqrt{\frac{t^2}{4}+3}$，
故圓的方程為${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-\frac{t}{2}）^2}=\frac{t^2}{4}+3$．…（7分）
因為以OM為直徑的圓被直線$\sqrt{3}x-y-5=0$截得的弦長為$2\sqrt{3}$，
所以圓心到直線$\sqrt{3}x-y-5=0$的距離$d=\sqrt{{r^2}-3}=\sqrt{\frac{t^2}{4}+3-3}=\frac{t}{2}$．…（9分）
∴$\frac{{|3-\frac{t}{2}-5|}}{2}=\frac{t}{2}$，…..（11分）   
即|t+4|=2t，故t+4=2t，或t+4=-2t，
解得t=4，或$t=-\frac{4}{3}$．  又t＞0，故t=4．…（13分）
所求圓的方程為${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-2）^2}=7$．…..（14分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查點到直線的距離公式，勾股定理，考查計算能力，屬于中檔題．