Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax，a∈R
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，$g（x）=f（x）+x+\frac{1}{2x}-m$有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：x₁+x₂＞1．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）令$t=\frac{x_1}{x_2}$，其中0＜t＜1，記$h（t）=t-\frac{1}{t}-2lnt（0＜t＜1）$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=lnx+ax，則${f^'}（x）=\frac{1}{x}+a=\frac{1+ax}{x}$
若函數(shù)f（x）=lnx+ax在（1，+∞）上單調(diào)遞減，則1+ax≤0在（1，+∞）上恒成立，
即當(dāng)x＞1時(shí)，$a≤-\frac{1}{x}$恒成立，所以a≤-1．-------------------------------------------------------（4分）
（2）證明：根據(jù)題意，$g（x）=lnx+\frac{1}{2x}-m（x＞0）$，
因?yàn)閤₁，x₂是函數(shù)$g（x）=lnx+\frac{1}{2x}-m$的兩個(gè)零點(diǎn)，
所以$ln{x_1}+\frac{1}{{2{x_1}}}-m=0$，$ln{x_2}+\frac{1}{{2{x_2}}}-m=0$．
兩式相減，可得$ln\frac{x_1}{x_2}=\frac{1}{{2{x_2}}}-\frac{1}{{2{x_1}}}$，---------------------------------（6分）
即$ln\frac{x_1}{x_2}=\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{2{x_2}{x_1}}}$，故${x_1}{x_2}=\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{2ln\frac{x_1}{x_2}}}$．那么${x_1}=\frac{{\frac{x_1}{x_2}-1}}{{2ln\frac{x_1}{x_2}}}$，${x_2}=\frac{{1-\frac{x_2}{x_1}}}{{2ln\frac{x_1}{x_2}}}$．
令$t=\frac{x_1}{x_2}$，其中0＜t＜1，則${x_1}+{x_2}=\frac{t-1}{2lnt}+\frac{{1-\frac{1}{t}}}{2lnt}=\frac{{t-\frac{1}{t}}}{2lnt}$．
記$h（t）=t-\frac{1}{t}-2lnt（0＜t＜1）$，-----------------（10分）
則$h'（t）=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{t^2}$．
因?yàn)?＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即$t-\frac{1}{t}-2lnt＜0$．
可知$\frac{{t-\frac{1}{t}}}{2lnt}＞1$，故x₁+x₂＞1．-----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．