Question

已知函數f（x）是R上的單調增函數且為奇函數，數列{a_n}是等差數列，a₃＞0，則f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）的值（ ）
A．恒為正數
B．恒為負數
C．恒為0
D．可正可負

Answer 1

【答案】分析：由函數f（x）是R上的奇函數且是增函數數列，知取任何x₂＞x₁，總有f（x₂）＞f（x₁），由函數f（x）是R上的奇函數，知f（0）=0，所以當x＞0，f（0）＞0，當x＜0，f（0）＜0．由數列{a_n}是等差數列，a₁+a₅=2a₃，a₃＞0，知a₁+a₅＞0，所以f（a₁）+f（a₅）＞0，f（a₃）＞0，由此知f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒為正數．
解答：解：∵函數f（x）是R上的奇函數且是增函數數列，
∴取任何x₂＞x₁，
總有f（x₂）＞f（x₁），
∵函數f（x）是R上的奇函數，
∴f（0）=0，
∵函數f（x）是R上的奇函數且是增函數，
∴當x＞0，f（0）＞0，
當x＜0，f（0）＜0．
∵數列{a_n}是等差數列，
a₁+a₅=2a₃，
a₃＞0，
∴a₁+a₅＞0，
則f（a₁）+f（a₅）＞0，
∵f（a₃）＞0，
∴f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒為正數．
點評：本題考查等差數列的性質和應用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地運用函數的性質進行解題．