已知函數(shù)f(x)=ex-e-x,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)證明:f(x)是R上的奇函數(shù);
(2)若函數(shù)g(x)=e2x+e-2x-6f(x),求g(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)奇偶性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由f(x)=ex-e-x,可得f(-x)=e-x-ex=-f(x),從而可得函數(shù)為奇函數(shù);
(2)函數(shù)g(x)=e2x+e-2x-6f(x)=(ex-e-x2+2-6f(x)=[f(x)]2-6f(x)+2,不妨令t=f(x),則g(x)=t2-6t+2,
先確定t的范圍,求出原函數(shù)的最大值.
解答: (1)證明:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,
∵f(x)=ex-e-x,
∴f(-x)=e-x-ex=-f(x),
∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)
(2)解:函數(shù)g(x)=e2x+e-2x-6f(x)=(ex-e-x2+2-6f(x)=[f(x)]2-6f(x)+2,
不妨令t=f(x),則g(x)=t2-6t+2,易知g(x)在t∈(-∞,3)單調(diào)遞減,
由f′(x)=ex+e-x>0可知f(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù),
所以f(x)在[0,1]上亦為單調(diào)遞增函數(shù),
從而t∈[f(0),f(1)]=[0,e-
1
e
]⊆(-∞,3),
所以g(x)的最大值在t=f(0)=0處取得,
g(x)max=(0-3)2-7=2
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、二次不等式的求解,考查學(xué)生解決問(wèn)題的能力,屬中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=|xex|,若關(guān)于x的方程(1-t)f2(x)-f(x)+t=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為( 。
A、(-∞,0)
B、(0,
1
e+1
C、(
e
e2+1
,1)
D、(1,+∞)

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已知不等式x2-2x-3<0的解集為A,不等式|x+1|<3的解集為B,不等式x2+ax+b<0的解集為A∩B,那么a+b=
 

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如圖,四棱錐P-ABCD中,M,N分別為AC,PC上的點(diǎn),且MN∥平面PAD,則(  )
A、MN∥PD
B、MN∥PA
C、MN∥AD
D、以上均有可能

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=2lnx+
1
2
ax2
-(2a+1)x(a>0)
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在(0,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù),g(x)=lnx+ax2+bx,函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1,g(1))處的切線平行于x軸.
(Ⅰ)確定a與b的關(guān)系;
(Ⅱ)試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)證明:對(duì)任意n∈N*,都有l(wèi)n(1+n)>
1
22
+
1
32
+
1
42
…+
n-1
n2
成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)f(x)=sinx+cos2x的圖象為( 。
A、
B、
C、
D、

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

銳角△ABC的外接圓⊙O,且已知AB=4,∠C=45°,求外接圓的半徑.

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如圖,圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好是一個(gè)半圓,則該圓錐的母線與底面所成的角的大小是
 

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