分析 (Ⅰ)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明MN∥平面ABCD.
(Ⅱ)求出兩個(gè)平面的法向量,可計(jì)算兩個(gè)平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可.
解答 證明:(1)如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
依題意A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),
A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2),
又∵M(jìn),N分別為B1C和D1D的中點(diǎn),∴M(1,12,1),N(1,-2,1).
由題意得→n=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量,
→MN=(0,-52,0),
∵→MN•→n=0,又∵直線MN?平面ABCD,
∴MN∥平面ABCD.
(II)→AD1=(1,-2,2),→AC=(2,0,0),設(shè)→m=(x,y,z)為平面ACD1的法向量,
則{→m•→AD1=x−2y+2z=0→m•→AC=2x=0,不妨設(shè)z=1,得→m=(0,1,1),
設(shè)→p=(x,y,z)為平面ACB1的一個(gè)法向量,→AB1=(0,1,2),
則{→p•→AB1=y+2z=0→p•→AC=2x=0,不妨設(shè)z=1,得→p=(0,-2,1),
∴cos<→m,→p>=→m•→p|→m|•|→p|=-√1010,于是sin<→m,→p>=√1−(−√1010)2=3√1010,
∴二面角D1-AC-B1的正弦值為3√1010.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A. | 53 | B. | 43 | C. | 47 | D. | 57 |
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A. | (-∞,0] | B. | [43,+∞) | C. | [0,43] | D. | (0,43] |
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